二分图最大权完美匹配的KM算法

张文泰 posted @ 2010年2月02日 04:15 in Art of Science with tags 二分图 图论 , 7073 阅读

 二分图最大权完美匹配KM算法是在一个二分图里,求一个最大权匹配,但是要求这个匹配必须是完美匹配。如果匹配不一定是完美匹配,那么似乎只能将其转化为最小费用最大流来做了。我们可以使用KM算法对任意带权(无论正负权)二分图求最大/最小权完美匹配,它的算法复杂度是O(n3),但是如果写得不好会变成O(n4)。

KM算法是通过给每个顶点一个标号(我们有时称之为顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。我们令二分图中X部的节点的顶标为Ai,Y部的节点的顶标为Bi。X部与Y部节点之间的权值为Wi,j,那么,在算法进行的过程中,我们必须始终保持$A_i+B_i\geq W_{i,j}$成立。因为KM算法的正确性基于以下定理:

若由二分图中所有满足Ai+Bi=Wi,j的边 (i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

初始时为了使$A_i+B_i\geq W_{i,j}$成立,令Ai为所有与Xi顶点关联的边的权值的最大值,令Bi=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就需要修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止(这样就可以求出最大权匹配)。

如果当前相等子图找不到完备匹配,那么是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,现在我们把交错树中X部的顶点的顶标全都减小某个值d,Y部的顶点的顶标全都增加d,就可以使得至少有一条新边进入相等子图。这里d=min{Ai+Bi-Wi,j},而且Xi在交错树中,Yi不在。

但是如果仅仅是这样,用朴素的方法实现,算法复杂度是O(n4)。我们给每个Y部的顶点一个“松弛量”slack,每次开始找增广路时松弛量初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slackj变成原值与Ai+Bi-Wi,j的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改顶标后,要把所有的slackj值都减去d。经过这样一个优化实现后,算法复杂度就变成了O(n3)。 


本作品遵循“署名-非商业性使用-相同方式共享 3.0 Unported”协议,转载请注明来自richard-desktop
Creative Commons License

登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter