Mar 19
题目给出了一个数列的前若干项,要求推测后面的项。我们很容易想到拉格朗日插值法,但是精度就变成了一个大问题。这个问题虽然保证了所有的值都是整数,但是并没有保证其多项式的系数也是整数,因此在计算方面存在很大的困难。
除了插值法,求解这种数列问题我们有更好的差分方法,过程中完全不涉及浮点数操作。比如说,对于1 2 4 7 11 16 22 29这个数列,我们对于每一项做其和前一项的差,也就是2-1=1, 4-2=2, 7-4=3, ....这样,我们得到一个1阶差分:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。我们再求得2阶差分是:1, 1, 1, 1, 1, 1。这时,规律已经有些明显了。
也就是说,对于任意一个存在合理多项式通项的数列,用差分的方法是可以得到它的解的:只要求得这个n项数列的n-1阶差分,然后倒推回去就可以了。代码如下:
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; const int MAXN = 100+5; int n,m,s[MAXN][MAXN]; int main() { int ncase; scanf("%d",&ncase); while (ncase--) { scanf("%d%d",&n,&m); for (int i = 0; i<n; i++) scanf("%d",&s[0][i]); for (int i = 1; i<n; i++) for (int j = 0; i+j<n; j++) s[i][j] = s[i-1][j+1]-s[i-1][j]; for (int i = 1; i<=m; i++) s[n-1][i] = s[n-1][0]; for (int i = n-2; i>=0; i--) for (int j = 0; j<m; j++) s[i][n-i+j] = s[i][n-i+j-1]+s[i+1][n-i+j-1]; for (int i = 0; i<m-1; i++) printf("%d ",s[0][n+i]); printf("%d\n",s[0][n+m-1]); } return 0; }
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