Mar 19

SPOJ 8 - Complete the Sequence![CMPLS]

Art of Science 3 Comments

题目给出了一个数列的前若干项，要求推测后面的项。我们很容易想到拉格朗日插值法，但是精度就变成了一个大问题。这个问题虽然保证了所有的值都是整数，但是并没有保证其多项式的系数也是整数，因此在计算方面存在很大的困难。

除了插值法，求解这种数列问题我们有更好的差分方法，过程中完全不涉及浮点数操作。比如说，对于1 2 4 7 11 16 22 29这个数列，我们对于每一项做其和前一项的差，也就是2-1=1, 4-2=2, 7-4=3, ....这样，我们得到一个1阶差分：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。我们再求得2阶差分是：1, 1, 1, 1, 1, 1。这时，规律已经有些明显了。

也就是说，对于任意一个存在合理多项式通项的数列，用差分的方法是可以得到它的解的：只要求得这个n项数列的n-1阶差分，然后倒推回去就可以了。代码如下：

?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
#include <cstdio>
#include <cstring>
 
using namespace std;
 
const int MAXN = 100+5;
 
int n,m,s[MAXN][MAXN];
 
int main() {
  int ncase;
  scanf("%d",&ncase);
  while (ncase--) {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 0; i<n; i++)
      scanf("%d",&s[0][i]);
    for (int i = 1; i<n; i++)
      for (int j = 0; i+j<n; j++)
        s[i][j] = s[i-1][j+1]-s[i-1][j];
    for (int i = 1; i<=m; i++)
      s[n-1][i] = s[n-1][0];
    for (int i = n-2; i>=0; i--)
      for (int j = 0; j<m; j++)
        s[i][n-i+j] = s[i][n-i+j-1]+s[i+1][n-i+j-1];
    for (int i = 0; i<m-1; i++)
      printf("%d ",s[0][n+i]);
    printf("%d\n",s[0][n+m-1]);
  }
  return 0;
}

Your program in C++ from 2010-03-18 12:22:31 ran for 0.52 seconds and used 2576 KB of memory.