Jan 16

UVa10290 - {Sum+=i++} to Reach N

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题目描述在这里。

题目的意思就是给定一个正整数n（n不超过9*1014），要求我们给出有多少种方式，使得n能够表示为若干个连续正整数的和。比如n=9，那么有3种方式：2+3+4，4+5，9。

我们可以假定a+(a+1)+...+(b-1)+b=n，也就是(b+a)*(b-a+1)=2n。而(b+a)+(b-a+1)=2b+1是一个奇数，说明(b+a)和(b-a+1)具有不同的奇偶性，必然有一个是奇数。我们先把n当中所有素因数2从等式两边约去，同时考虑到(b+a)和(b-a+1)奇偶性不同，就可以把问题转化为n的奇数约数有多少个。由于这里的a和b是不受n的限制的变量，我们只要得到一个奇数约数必然可以求出相应的a和b（注意到(b+a)-(b-a+1)=2a-1是一个正整数，所以(b+a)>(b-a+1)。）。比如n=12，给出一个奇数约数3，那么a=3，b=5；给出一个奇数约数1，那么a=b=12。

现在我们所要做的就是对n进行质因数分解，然后用各个素因数的指数求解。显然，O(n1/2)的算法是不够的。我们要具体考察一下素因数分解的过程。如果用[2,L]以内的素数进行分解，那么约去所有因数后，最后剩下的n'一定不含有该范围的任何质数，也就是说n'如果小于L2，那么一定是素数；如果大于L2，那么只需要判断n'到底是不是素数。我们注意到，如果n'不是素数且只含有两个素因数，我们是可以分析出结果的，也就是说，我们需要排除n'含有三个素因数的情况。注意到(105)3略大于9*1014，我们就找到了方法。

先预处理出[2,105]范围内所有的素数，并且对n进行分解。然后按照上面的方法对分解的结果n'进行讨论，关于判断n'是否是素数，我们可以用Miller-Rabin素性测试来解决，Java中可以借助BigInteger的isProbablePrime来判断。整个算法的复杂度约为O(n1/3)，下面就是代码，UVa上面的提交结果是运行了0.556s： 

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import java.math.*;
import java.util.*;
 
class Main {
  private final static int MAXP = 100000;
  private final static long LIMIT = (long)MAXP*MAXP;
  private static int[] primes;
 
  public static void main(String[] args) {
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    getprimes();
    while (in.hasNextLong()) {
      long n = in.nextLong();
      System.out.println(solve(n));
    }
  }
 
  private static int solve(long n) {
    if (n==0) return 0;
    while ((n&1)==0) n >>= 1;
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i<primes.length; i++) {
      long t = primes[i];
      if (t*t>n) break;
      int cnt = 0;
      while (n%primes[i]==0) {
        n /= primes[i];
        cnt++;
      }
      ans *= cnt+1;
    }
    if (n==1);
    else if (n<LIMIT || BigInteger.valueOf(n).isProbablePrime(16))
      ans *= 2;
    else {
      long tmp = (long)(Math.sqrt(n)+1e-6);
      if (tmp*tmp==n) ans *= 3;
      else ans *= 4;
    }
    return ans;
  }
 
  private static void getprimes() {
    boolean[] isp = new boolean[MAXP+1];
    int size = 0,ptr = 0;
    for (int i = 2; i<=MAXP; i++)
      if (!isp[i]) {
        size++;
        for (int j = 2*i; j<=MAXP; j += i)
          isp[j] = true;
      }
    primes = new int[size];
    for (int i = 2; i<=MAXP; i++)
      if (!isp[i]) primes[ptr++] = i;
  }
}