UVa10290 - {Sum+=i++} to Reach N

张文泰 posted @ 2010年1月16日 22:50 in Art of Science with tags 数论 UVa acm , 2642 阅读

题目描述在这里

题目的意思就是给定一个正整数n(n不超过9*1014),要求我们给出有多少种方式,使得n能够表示为若干个连续正整数的和。比如n=9,那么有3种方式:2+3+4,4+5,9。

我们可以假定a+(a+1)+...+(b-1)+b=n,也就是(b+a)*(b-a+1)=2n。而(b+a)+(b-a+1)=2b+1是一个奇数,说明(b+a)和(b-a+1)具有不同的奇偶性,必然有一个是奇数。我们先把n当中所有素因数2从等式两边约去,同时考虑到(b+a)和(b-a+1)奇偶性不同,就可以把问题转化为n的奇数约数有多少个。由于这里的a和b是不受n的限制的变量,我们只要得到一个奇数约数必然可以求出相应的a和b(注意到(b+a)-(b-a+1)=2a-1是一个正整数,所以(b+a)>(b-a+1)。)。比如n=12,给出一个奇数约数3,那么a=3,b=5;给出一个奇数约数1,那么a=b=12。

现在我们所要做的就是对n进行质因数分解,然后用各个素因数的指数求解。显然,O(n1/2)的算法是不够的。我们要具体考察一下素因数分解的过程。如果用[2,L]以内的素数进行分解,那么约去所有因数后,最后剩下的n'一定不含有该范围的任何质数,也就是说n'如果小于L2,那么一定是素数;如果大于L2,那么只需要判断n'到底是不是素数。我们注意到,如果n'不是素数且只含有两个素因数,我们是可以分析出结果的,也就是说,我们需要排除n'含有三个素因数的情况。注意到(105)3略大于9*1014,我们就找到了方法。

先预处理出[2,105]范围内所有的素数,并且对n进行分解。然后按照上面的方法对分解的结果n'进行讨论,关于判断n'是否是素数,我们可以用Miller-Rabin素性测试来解决,Java中可以借助BigInteger的isProbablePrime来判断。整个算法的复杂度约为O(n1/3),下面就是代码,UVa上面的提交结果是运行了0.556s: 

import java.math.*;
import java.util.*;

class Main {
  private final static int MAXP = 100000;
  private final static long LIMIT = (long)MAXP*MAXP;
  private static int[] primes;

  public static void main(String[] args) {
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    getprimes();
    while (in.hasNextLong()) {
      long n = in.nextLong();
      System.out.println(solve(n));
    }
  }

  private static int solve(long n) {
    if (n==0) return 0;
    while ((n&1)==0) n >>= 1;
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i<primes.length; i++) {
      long t = primes[i];
      if (t*t>n) break;
      int cnt = 0;
      while (n%primes[i]==0) {
        n /= primes[i];
        cnt++;
      }
      ans *= cnt+1;
    }
    if (n==1);
    else if (n<LIMIT || BigInteger.valueOf(n).isProbablePrime(16))
      ans *= 2;
    else {
      long tmp = (long)(Math.sqrt(n)+1e-6);
      if (tmp*tmp==n) ans *= 3;
      else ans *= 4;
    }
    return ans;
  }

  private static void getprimes() {
    boolean[] isp = new boolean[MAXP+1];
    int size = 0,ptr = 0;
    for (int i = 2; i<=MAXP; i++)
      if (!isp[i]) {
        size++;
        for (int j = 2*i; j<=MAXP; j += i)
          isp[j] = true;
      }
    primes = new int[size];
    for (int i = 2; i<=MAXP; i++)
      if (!isp[i]) primes[ptr++] = i;
  }
}

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