求正整数集合使得元素之和等于元素之积

张文泰 posted @ 2010年1月11日 01:01 in Art of Science with tags 集合不等式 , 4225 阅读

这是一个比较有意思的正整数性质的应用。我们应该可以迅速找到一个解{1,2,3}，但是如果要说明这个解的唯一性，我们需要做出一些讨论。

令这个集合为S={x₁,...,x_n}，这里n>1，0<x₁<...<x_n。我们得到nx₁<x₁...x_n<nx_n，于是x₁...x_n-1<n，而 $x_1\cdots x_{n-1}\geq (n-1)!$ ，所以n>(n-1)!>(n-1)(n-2)，解得 $2-\sqrt{2}<n<2+\sqrt{2}$ ，于是n=2或3。又x₁+...+x_n=x₁...x_n，解得n=2时x₁=x₂=2，舍弃，所以n=3，易解得x₁=1,x₂=2,x₃=3。问题得解。