求正整数集合使得元素之和等于元素之积

张文泰 posted @ 2010年1月11日 01:01 in Art of Science with tags 集合 不等式 , 2975 阅读

这是一个比较有意思的正整数性质的应用。我们应该可以迅速找到一个解{1,2,3},但是如果要说明这个解的唯一性,我们需要做出一些讨论。

令这个集合为S={x1,...,xn},这里n>1,0<x1<...<xn。 我们得到nx1<x1...xn<nxn,于是x1...xn-1<n,而$x_1\cdots x_{n-1}\geq (n-1)!$,所以n>(n-1)!>(n-1)(n-2),解得$2-\sqrt{2}<n<2+\sqrt{2}$,于是n=2或3。又x1+...+xn=x1...xn, 解得n=2时x1=x2=2,舍弃,所以n=3,易解得x1=1,x2=2,x3=3。 问题得解。


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