Jan 31
骑士周游是指在一个N×M的棋盘上，从某一点出发，按照国际象棋的跳法，不重复地经过每一个格子。其实本质上是求一个Hamilton回路。我们有时候需要对给定的一个棋盘，输出一个骑士周游的方案。往往首先想到的是搜索。但是搜索对于N，M较大的时候并不可取，这时候就会想到构造。我所了解的构造方法有两种，一种是在小棋盘的基础上每次增加宽度为2的路径，一种是把4个小棋盘合并起来。这里所要介绍的是后一种方法。而且这两种构造方法都对N，M有
且均为偶数的要求。
首先，考虑N×N的棋盘。对棋盘进行黑白染色，得出马的路径必然是黑白相间的这一结论。又由于一条Hamilton回路上的黑白格子的数量应当相等，所以在N×N为奇数的时候问题无解。也就是在N为奇数的时候无解。反之，在N为偶数的情况下，一定存在Hamilton回路。
首先观察一下最基本的棋盘。由于4×4的棋盘无解，所以在这里我们只考虑6×6、6×8、8×8、 8×10、10×10、10×12的棋盘。据有关资料说，对于这些棋盘用回溯法可以在O(1)的时间内找到Hamilton回路，但是具体情况我不清楚。对于4个角上的格子，由于它们的度仅为2，而且观察有解的情况，必定是下面的情况。
而如果要得到8×6、10×8、12×10，只需要将6×8、8×10、10×12的棋盘旋转90度。对于
的情形，我们就需要采用分治策略。方法如下：
- 分治：将棋盘尽可能平均的分割成4块；
- 合并：将4个子棋盘拼接。如下图：
这时，为了合并4个子棋盘，对于原有的边A-B、C-D、E-F、G-H，我们将它们变为A-G、B-D、C-F、E-H，这样就合并了4个子棋盘。至此，分治的过程结束。
上面的解法只是求得一个Hamilton回路，但是对于条件更弱的Hamilton通路，我们并没有类似的算法。