解一元三次方程

张文泰 posted @ 2010年1月11日 20:19 in Art of Science with tags 方程 , 9063 阅读

三次方程就是形如ax3+bx2+cx+d=0的一类方程。如果a,b,c,d都是实数,那么我们确定至少有一个实数根。要确定根的实数或者复数的具体情况,要计算下列的判别式:

$\Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2$

考虑$\Delta$的正负情况:

  • $\Delta<0$,那么只有一个实数解,另外两个解是复数解。
  • $\Delta=0$,存在重根,但是所有解都是实数。
  • $\Delta>0$,存在三个实数解。

另外,判别重根的问题可以参见我的另外一篇文章。

下面只是对三次方程的求解做一些简单的介绍。由于直接的求根公式可以从各种途径找到,在此不再重复。对于可以找到一个解的情况,我们可以因式分解来得到一个二次方程,而后解出其余两个解。

三次方程最早的解法是由波斯的数学家欧玛尔·海亚姆提出的,他采用了一种圆锥截面与圆相交的方法,至于具体情况我不是很清楚。南宋的秦九韶也对这个问题提出了自己的看法,提出了“正负开方术”,原则是“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”,并且可以扩充到任何高次方程中去。其实我们可以发现,秦九韶对高次方程非常有兴趣,他为了展示自己解方程的技巧,曾经构造出一个十次方程来,并命名为“开连枝某乘方”(“开玲珑某乘方”)。

后来到了16世纪,费罗找到了形如x2+mx=n方程的解法。其实如果允许复数存在,任何三次方程都是可以被化归为这个形式的。塔塔利亚很快也找到了一个方法,并且告诉了卡尔丹诺。卡尔丹诺以自己的名义发表了这个做法,据说塔塔利亚非常生气,并与之绝交。但是由于塔塔利亚的方法里面有时候需要对负数进行开方,所以也推动了复数理论的诞生。拉斐罗·邦别利很快就注意到了这些,并因此被人们认为是复数的发现者。

三次方程的求根公式一般而言有两种:一种是纯代数解,一种使用三角函数来表示。

我们先来看看卡尔丹诺的方法。首先我们可以很快将方程化为x3+bx2+cx+d=0的形式,只需要令$x=z-\frac{b}{3}$,就可以消去二次项,从而得到z3+pz+q=0。我们令z=u+v,得到(u+v)3+p(u+v)+q=0,因式分解得到(u3+v3+q)+(u+v)(3uv+p)=0,由于u,v的值是不确定的,所以我们可以再加上一个条件3uv+p=0,这样我们得到u3+v3+q=0。至此,我们可以解出u和v,可以接下来得到三次方程的解。需要注意的是,在复数域中,求解u,v的时候要考虑三种情况。

我们也可以通过归纳法来求解方程。我们观察得到三次方程解得形式一定是$x=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}$。那么我们得到$x^3=(A+B)+3\sqrt[3]{AB}x$。移项化简得到x3+px+q=0的形式,这里$A+B=-q,AB=-\frac{p^3}{27}$ 。所以可以化归为二次方程两个根的韦达定理。从而进一步就可以求出用p,q表示的x的解。这里A,B只是起到了一个中间变量的作用。

三次方程解的形式还是有很多的。对于x3+px+q=0形式的方程,我们还有$x=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\sin\theta$形式的解,其中$\theta$满足$\sqrt{\frac{p^3}{27}} \left( e^{3i\theta}-e^{-3i\theta} \right)+q=0$。但其实这也只是将变量x用$\theta$代换的结果。

还有一些结论性的结果可以在Wikipedia上面找到,我想要说的大概就到这里了。


本作品遵循“署名-非商业性使用-相同方式共享 3.0 Unported”协议,转载请注明来自richard-desktop
Creative Commons License

登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter