解一元三次方程

张文泰 posted @ 2010年1月11日 20:19 in Art of Science with tags 方程 , 11006 阅读

三次方程就是形如ax³+bx²+cx+d=0的一类方程。如果a,b,c,d都是实数，那么我们确定至少有一个实数根。要确定根的实数或者复数的具体情况，要计算下列的判别式：

$\Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2$

考虑 $\Delta$ 的正负情况：

$\Delta<0$ ，那么只有一个实数解，另外两个解是复数解。
$\Delta=0$ ，存在重根，但是所有解都是实数。
$\Delta>0$ ，存在三个实数解。

另外，判别重根的问题可以参见我的另外一篇文章。

下面只是对三次方程的求解做一些简单的介绍。由于直接的求根公式可以从各种途径找到，在此不再重复。对于可以找到一个解的情况，我们可以因式分解来得到一个二次方程，而后解出其余两个解。

三次方程最早的解法是由波斯的数学家欧玛尔·海亚姆提出的，他采用了一种圆锥截面与圆相交的方法，至于具体情况我不是很清楚。南宋的秦九韶也对这个问题提出了自己的看法，提出了“正负开方术”，原则是“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”，并且可以扩充到任何高次方程中去。其实我们可以发现，秦九韶对高次方程非常有兴趣，他为了展示自己解方程的技巧，曾经构造出一个十次方程来，并命名为“开连枝某乘方”（“开玲珑某乘方”）。

后来到了16世纪，费罗找到了形如x²+mx=n方程的解法。其实如果允许复数存在，任何三次方程都是可以被化归为这个形式的。塔塔利亚很快也找到了一个方法，并且告诉了卡尔丹诺。卡尔丹诺以自己的名义发表了这个做法，据说塔塔利亚非常生气，并与之绝交。但是由于塔塔利亚的方法里面有时候需要对负数进行开方，所以也推动了复数理论的诞生。拉斐罗·邦别利很快就注意到了这些，并因此被人们认为是复数的发现者。

三次方程的求根公式一般而言有两种：一种是纯代数解，一种使用三角函数来表示。

我们先来看看卡尔丹诺的方法。首先我们可以很快将方程化为x³+bx²+cx+d=0的形式，只需要令 $x=z-\frac{b}{3}$ ，就可以消去二次项，从而得到z³+pz+q=0。我们令z=u+v，得到(u+v)³+p(u+v)+q=0，因式分解得到(u³+v³+q)+(u+v)(3uv+p)=0，由于u,v的值是不确定的，所以我们可以再加上一个条件3uv+p=0，这样我们得到u³+v³+q=0。至此，我们可以解出u和v，可以接下来得到三次方程的解。需要注意的是，在复数域中，求解u,v的时候要考虑三种情况。

我们也可以通过归纳法来求解方程。我们观察得到三次方程解得形式一定是 $x=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}$ 。那么我们得到 $x^3=(A+B)+3\sqrt[3]{AB}x$ 。移项化简得到x³+px+q=0的形式，这里 $A+B=-q,AB=-\frac{p^3}{27}$ 。所以可以化归为二次方程两个根的韦达定理。从而进一步就可以求出用p,q表示的x的解。这里A,B只是起到了一个中间变量的作用。

三次方程解的形式还是有很多的。对于x³+px+q=0形式的方程，我们还有 $x=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\sin\theta$ 形式的解，其中 $\theta$ 满足 $\sqrt{\frac{p^3}{27}} \left( e^{3i\theta}-e^{-3i\theta} \right)+q=0$ 。但其实这也只是将变量x用 $\theta$ 代换的结果。