题目的意思很明确，就是要求出一组绝对值函数的最小值。由于规模较大，我们要找出一个n²以下复杂度的算法。

对于一般的绝对值求最值问题，我们首先想到的是把绝对值的符号打开，然后再加以讨论。这个题目也不外如是。打开绝对值符号之后，我们发现，如果在i和j中能够确定一个值，那么就变成了一个查找最优值的问题。

我们如果能够确定i，那么加上确定了|x_j-x_i-1|+|x_j-x_i+1|两者的符号，我们就可以确定x_j的范围。这时候，我们还是没有办法直接找到最小值的。这是因为|x_i-x_j-1|+|x_i-x_j+1|的存在，使得x_j-1和x_j+1的取值也受到了限制。我们可以想办法把这个限制给去掉。

显然我们需要合理地安排查询顺序。由于绝对值符号展开后，我们可以得到最值的表达式，对于不同的i，我们都能构造出关于j的函数使得这些函数都能够适用。也就是说，产生一个关于j的函数，使得查找变成求这个函数的最值，就可以求出问题的最值。

我们要想办法把这个关于j的函数的最值转化为在某个范围内求最值的问题。通常想到的就是区间查询问题。这里我们需要避免高维的区间查找情形。

我们考察所有式子展开的情况。如果|x_i-x_j-1|+|x_i-x_j+1|的符号都是正，那么x_i的范围就是大于x_j-1和x_j+1的较大值，这样，我们把xj按照x_j-1和x_j+1的较大值从小到大排序，同时如果查找也是按照x_i从小到大的顺序进行，那么就可以用两个指针维护查找过程，达到O(n)的外循环复杂度，而且不会与条件冲突，同时建立一维线段树，按照|x_j-x_i-1|+|x_j-x_i+1|的符号进行相关区间的最值查找。

如果|x_i-x_j-1|+|x_i-x_j+1|的符号都是负，也是差不多的情形。需要商榷的就是x_i在x_j-1与x_j+1之间的情况。这时，我们可以把它们看成一个区间[x_j-1, x_j+1]，把这些区间按照一定顺序排序，再通过这些区间来确定i的范围，再来完成查找就可以了。这里需要判断某个i会在哪些区间中，这样，查找一个i的复杂度就是O(log² n)。这里需要借鉴这里的数据结构：2D de aici。

由于只有最后一种情况的单次查找复杂度是O(log² n)，我们得到的算法复杂度是O(nlog² n)。绝对值打开之后一共有8种情况，我们需要逐一讨论，相当繁琐。

• Relative Posts