无限递降法

张文泰 posted @ 2010年1月22日 20:44 in Art of Science with tags 无限递降法数论 , 3784 阅读

无限递降法就是一种特殊的反证法，它利用了最小自然数原理。先假设存在一个最小解，然后在这个最小解的基础上推出一个更小的解，再结合最小自然数原理得到矛盾，从而证明命题。

无限递降法经典的一个例子就是证明x⁴+y⁴=z²没有正整数解。

我们假定存在一个正整数解，那么其中必定存在一个解x₀,y₀,z₀使得z₀最小。我们得到必有(x₀,y₀)=1，否则会推出一个更小的解。由于 $x_0^2,y_0^2,z_0$ 是方程x²+y²=z²的一个本原解，所以x₀和y₀必然是一奇一偶，不妨设2|y₀，以及(y₀,z₀)=1。

我们有 $(2z_0,2y_0^2)=2(z_0,y_0^2)=2$ ，由此及2不整除 $z_0-y_0^2$ 即得 $(z_0-y_0^2,z_0+y_0^2)=1$ 。我们又有

$(z_0-y_0^2)(z_0+y_0^2)=x_0^4$

令 $z_0-y_0^2=u^4,\quad z_0+y_0^2=v^4$ 。这里v>u>0,(u,v)=1，u,v都是奇数。进而有

$y_0^2=(v^2-u^2)\frac{v^2+u^2}{2}$

我们又得到(v²-u²,(v²+u²)/2)=1，因为(v²-u²,v²+u²)|(2v²,2u²)=2(v²,u²)=2，又u,v都是奇数，所以2不整除(v²+u²)/2，所以(v²-u²,(v²+u²)/2)=1。

我们再令v²-u²=a²,(v²+u²)/2=b²，这里a>0,b>0,(a,b)=1,2|a,2不整除b。由u,v满足的条件及a,b得0<b<v<z₀，及u,a,v是方程x²+y²=z²的本原解且2|a。因此得到u=r²-s², a=2rs, v=r²+s²。所以r⁴+s⁴=b²，而b<z₀，与z₀的最小性矛盾，命题得证。